Como usar a diferenciação para calcular o volume máximo de uma caixa

Um dos usos mais práticos da diferenciação é encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função do mundo real. No exemplo a seguir, você calcula o volume máximo de uma caixa sem tampa e que deve ser fabricada a partir de um pedaço de papelão de 30 por 30 polegadas, cortando e dobrando como mostrado na figura.

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Quais dimensões produzem uma caixa que tem o volume máximo? A matemática muitas vezes parece abstrata e impraticável, mas aqui está um problema prático honesto. Se um fabricante pode vender caixas maiores por mais dinheiro e está ganhando um milhão de caixas, é melhor você acreditar que ele vai querer a resposta exata para esta pergunta:



  1. Expresse o que você quer maximizar, o volume, em função do desconhecido, a altura da caixa (que é igual ao comprimento do corte).

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  2. Determine o domínio de sua função.

    A altura não pode ser negativa ou superior a 15 polegadas (o papelão tem apenas 30 polegadas de largura, então metade disso é a altura máxima). Assim, valores razoáveis ​​para h são 0 ≤ h ≤ 15.

  3. Encontre os números críticos de V ( h ) no intervalo aberto (0, 15), definindo sua derivada igual a zero e resolvendo. E não se esqueça de verificar os números em que a derivada é indefinida.



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    Como 15 não está no intervalo aberto (0, 15), ele não se qualifica como um número crítico. E como essa derivada é definida para todos os valores de entrada, não há números críticos adicionais. Portanto, 5 é o único número crítico.

  4. Avalie a função no número crítico, 5, e nos pontos finais do intervalo, 0 e 15, para localizar o máximo da função.

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O fim (cavar essa palavra chique para máximo ou mínimo ) que você está procurando não costuma ocorrer em um ponto de extremidade, mas pode - então não deixe de avaliar a função nos dois pontos de extremidade do intervalo.

Você já tem sua resposta: uma altura de 5 polegadas produz a caixa com volume máximo (2.000 polegadas cúbicas). Porque o comprimento e a largura são iguais a 30 - 2 h, uma altura de 5 polegadas dá um comprimento e largura de 30-2,5 ou 20 polegadas. Assim, as dimensões da caixa desejada são 5 polegadas por 20 polegadas por 20 polegadas.