Como usar matrizes de transição

Por Mary Jane Sterling

Se o seu instrutor de matemática finito pedir que você preveja a probabilidade de uma ação se repetir ao longo do tempo, pode ser necessário usar uma matriz de transição para fazer isso. UMA matriz de transição consiste em uma matriz quadrada que dá as probabilidades de diferentes estados indo de um para outro.



Com uma matriz de transição, você pode realizar a multiplicação da matriz e determinar tendências, se houver, e fazer previsões.



Considere a tabela que mostra os padrões de compra envolvendo diferentes cereais. Você vê todas as porcentagens que mostram a probabilidade de passar de um estado a outro, mas qual dos cereais o consumidor acaba comprando com mais frequência no longo prazo?

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Uma maneira de ver a compra contínua é criar um diagrama em árvore. Na figura a seguir, você vê duas rodadas consecutivas de compras.

Matrizes de transição FNTMath

Que tipo de cereal o consumidor comprará?

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Se você deseja a probabilidade de que o consumidor compre Kicks primeiro, tente de novo ou outra coisa e depois compre Kicks na próxima vez, some os ramos, e:, ou 38% das vezes. Se você quiser a probabilidade de que o consumidor compre Cheery A's primeiro, tente outra coisa ou repita Cheery A's e, em seguida, tente Corn Flecks, some os ramos, e. Isso chega a, ou quase 26% das vezes.



A árvore é útil porque mostra quais são as escolhas e como as porcentagens funcionam na determinação de padrões, mas há uma maneira muito mais fácil e organizada de calcular esses valores.

Para realizar cálculos e estudar isso mais a fundo, crie uma matriz de transição, referindo-se ao gráfico que mostra as compras e usando os valores decimais das porcentagens. Chame-a de matriz C.

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Em seguida, use a multiplicação de matrizes para encontrar C ². Como uma dica rápida, ao multiplicar matrizes, você encontra o elemento na primeira linha, primeira coluna do produto, rotulado c 11, quando você multiplica os elementos na primeira linha da primeira matriz vezes os elementos correspondentes na primeira coluna da segunda matriz e, em seguida, soma os produtos.

Em uma matriz A, o elemento no n lançar, para a coluna é rotulada ank .

O elemento na primeira linha e segunda coluna do produto, c 12, usa os elementos da primeira linha da primeira matriz e da segunda coluna da segunda matriz, e assim por diante para o resto dos elementos.

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Então, você pega a primeira linha da matriz esquerda vezes a primeira coluna da segunda matriz para obter

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sim. Este é o mesmo cálculo que foi feito usando a árvore para encontrar a probabilidade de que um consumidor começando com Kicks retornaria a ele em mais duas compras.

Fazendo a multiplicação da matriz, você tem

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Continuando esse processo de multiplicação, na hora C 6 aparece (as chances de comprar um determinado cereal na quinta compra após a compra inicial), surge um padrão.

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Observe que os números em cada coluna são arredondados para as mesmas três casas decimais. Isso ficará ainda mais claro, usando potências superiores de C, até que alguma enésima potência da matriz se torne

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A matriz mostra o padrão ou tendência.

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Não importa qual cereal o consumidor comprou primeiro, no longo prazo, há uma chance de 35,3% de que ela compre Kicks, uma chance de 38,4% de que ela compre Cheery A's e uma chance de 26,3% de que ela compre Corn Flecks. Esta matriz de transição atingiu um equilíbrio, onde não mudará com mais multiplicações repetidas. Você pode escrever esta situação com uma matriz unifilar:

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